Zagadnienie początkowe (zagadnienie Cauchy'ego). Poprawność zadania warunków początkowych

Powstaje pytanie: co należy zrobić, by rozwiązanie skalarnego RRZ nie zależało od dowolnych stałych? W innym sformułowaniu pytanie to brzmi następująco: przy jakich warunkach rozwiązanie RRZ będzie jednoznaczne? Otóż, skoro rozwiązanie ogólne skalarnego RRZ $ n $-go rzędu zależy od $ n $ dowolnych stałych, to, żeby otrzymać rozwiązanie jednoznaczne, wystarczy, jak się wydaje, podać $ n $ dodatkowych warunków algebraicznych. Domniemanie to jest słuszne w większości przypadków, z którymi stykamy się w praktyce.

Jednak w pewnych wyjątkowych sytuacjach, a mianowicie wówczas, gdy dane początkowe są zadane niepoprawnie, rozwiązanie wciąż będzie niejednoznaczne. Może też powstać sytuacja, że przy źle postawionych danych początkowych rozwiązanie nie będzie w ogóle istnieć.

Dla przykładu rozpatrzmy następujące równanie:

(1)

$ \frac{d\,x}{d\,t}=\frac{x}{t}. $

Równanie to można przepisać w postaci równości

$ \frac{d\,x}{x}=\frac{d\,t}{t}, $

które ma równowazną postać różniczkową

$ d\log{x}=d\log{t}. $

Implikuje to następujący ciąg równości:

(2)

$ \int{d\log{x}}=\int{d\log{t}}\quad \Leftrightarrow\quad\log{x}=\log{t}+\log{C} \quad\Leftrightarrow\quad x=C\,t, \,\,\,C\,\in\,R. $

Podstawiając funkcję $ x=C\,t $ do równania wyjściowego, możemy przekonać się, że czyni ona z niego tożsamość.
Lewa strona:

$ \frac{d\,\left(C\,t\right)}{d\,t}=C, $

Prawa strona:

$ \frac{x(t)}{t}=\frac{C\,t}{t}=C. $

Zatem

zadając warunek początkowy w postaci

$ x(t_0)=a, \quad \mbox{gdzie} \quad t_0\neq 0, $

i rozwiązując równanie algebraiczne $ x(t_0)=a=C\,t_0 $ względem $ C $, otrzymamy jedyne rozwiązanie $ x(t)=a\,\frac{t}{t_0}. $

Zadając warunek początkowy

$ x(0)=b \neq 0, $

otrzymamy niedorzeczność: $ b=C\,\cdot\,0. $ Przyczyną tego jest nieokreśloność prawej strony równania przy $ t=0 $.

Warunek początkowy

$ x(0)=0, $

jest spełniony przy dowolnej wartości stałej $ C $.Przyczynę tego można zrozumieć, gdy rozpatrzymy zbiór wszystkich możliwych rozwiązań równania ( 1 ) postaci ( 2 ). Obrazuje go na płaszczyźnie fazowej $ \left(t,\,\,x\right) $ pęk linii prostych przechodzących przez początek współrzędnych, (zob. Rys. 1 ). Widzimy że początek współrzędnych jest jedynym punktem na płaszczyźnie, przez który przechodzą wszystkie rozwiązania równania. Dlatego właśnie zadanie warunków początkowych w tym punkcie prowadzi do nieijednoznaczności.

$Graficzna reprezentacja zbioru rozwiązań równania ((Automatycznie|#wzor1Cauchego)) odpowiadających różnym wartościom parametru $ C$, na płaszczyźnie fazowej $ (t,x)$$

Rysunek 1: Graficzna reprezentacja zbioru rozwiązań równania ( 1 ) odpowiadających różnym wartościom parametru $ C$, na płaszczyźnie fazowej $ (t,x)$

Podsumowując to co powiedzieliśmy, wprowadzimy następujące oznaczenie: Punkt $ (t_0,\,x_0) $ płaszczyzny fazowej nazywa się punktem osobliwym, jeżeli w tym punkcie prawa strona RRZ

$ \frac{d\,x}{d\,t}=f(t,\,x) $

przybiera wartość zerową, lub jest nieoznaczona. Ogólna reguła więc brzmi następująco:

Postawienie warunków początkowych w punkcie osobliwym prowadzi do niejednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego, lub do niedorzeczności.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Zagadnienie początkowe (zagadnienie Cauchy'ego). Poprawność zadania warunków początkowych